Кабинет Нумерологии - Первый Тибидохс Сети

Меню сайта

Вводная лекция

Третий курс ворвался в кабинет со скоростью нехилого бурана. Однако завидев профессора Желанову, буран вмиг превратился в легкий бриз. К третьему курсу, юные маги запомнили, что хотя по жизни Зима достаточно доброжелательна, с тем, что касается ее предмета, лучше не шутить. Профессор сидела , вырезала какие-то кусочки из разных свитков и пыталась их скомпоновать. Заметив, что все уже собрались, она встала и вышла вперед.

— Здравствуйте, уважаемые! Рада вас приветствовать на новом курсе и, в частности, на лекции по нумерологии. В прошедших курсах мы с вами пытались постигнуть сущность чисел и слов, разбирались со значением цифр, а также шифровали все, что не движется. А что движется — ловили и тоже шифровали...

Кажется у некоторых учеников ТО появились странные воспоминания о ловле и шифровке движущихся предметов, потому что они очень синхронно уставились в парты. Зима усмехнулась и продолжила лекцию.

— В этом году мы с вами посмотрим на числа немного с другой стороны — с внешней, а не внутренней. Посмотрим на то, какие они бывают. Но не только. Еще мы изучим разные интересные задачки, разобьем их на классы и будем решать. Поэтому домашние задания будут несколько нестандартными. Но об этом позже.

В аудитории принялись обсуждать только что услышанное. Ученики были недовольны. Задачки? Что мы, лопухоиды какие, задачки по математике решать? Профессор поморщила нос и злобно зыркнула на класс. Все разговоры тут же утихли.

— Да, задачки. Но вы упустили слово "интересные"! Но начнем мы с вами со следующей темы.

На доске проявилась надпись: "Простые и составные числа". Прежде, чем кто-то успел вскочить и выбежать из аудитории, Желанова шепнула пару слов своим наручам, из которых моментально выскочили две зеленые искры, рассыпались фейерверком и ударились в каждого ученика по отдельности. С большим сожалением, они обнаружили себя приклеенными к стульям, а свои перья приклеенными к своим же рукам. Деваться было некуда. Пришлось слушать дальше.

— Напоминает курс школьной лопухоидной математики, соглашусь. Но в школе не рассказывают того, что расскажу вам я. Итак. Определения все же придется напомнить. 

Простое число — число, имеющее ровно 2 натуральных делителя — себя и 1.

— Например, 2, 3, 5, 709. Натуральными мы, если кто не помнит, называем те числа, которые естественным образом возникают при счете, начиная с единицы. 1, 2, 3, ну и так далее. Двигаемся дальше.

Составное число — число, не являющееся простым, при этом большее единицы.

— То есть составное число у нас имеет больше двух делителей. Единицу вообще выносят в отдельный класс, так как у нее ровно один натуральный делитель — она сама. У простых и составных чисел в любом случае больше.

Убедившись, что все записали, Зима продолжила.

— Впрочем, это большинству из вас и так известно. Интереснее научиться понимать, глядя на число, является ли оно простым. Конечно, существует множество таблиц простых чисел, но если у нас такой под рукой нет, что делать? Первая идея, которая приходит в голову, это перебирать все числа, пока не найдем то, на которое наше разделится. Давайте ее усовершенствуем. Есть идеи?

Класс сидел на местах уже и без приклеивающего заклинания в состоянии глубокой задумчивости. Одна девушка с СО подняла руку.

— А зачем нам перебирать все числа? Нам же достаточно перебрать все простые, меньшие нашего. Потому что составные делители тоже разложатся на простые.

— Бинго! Более того. Нам вовсе не нужно перебирать все простые, меньшие нашего числа. Нам достаточно перебрать все простые числа, меньшие корня из нашего числа. Но это вы мне докажете дома. Идем дальше. Помимо тривиального способа, мы можем воспользоваться двумя критериями Эйлера.

Первый критерий Эйлера:  Если нечетное число N большее единицы может быть представлено в виде разности квадратов двух натуральных чисел более, чем одним способом, то N — составное. Если же ровно одним — простое.

Второй критерий Эйлера: Если натуральное число N может быть представлено в виде суммы квадратов двух натуральных чисел более, чем одним способом(перестановка слагаемых не дает нового способа), то число N — составное.

— Давайте пристально посмотрим на первый критерий.

N = m² - n² = (m - n) * (m + n)

Самое простое разложение — это m - n = 1, a m + n = N. Отсюда m = (N + 1) / 2, а n = (N - 1) / 2. И если число простое, то других разложений мы не найдем.

Понимание в глазах студентов угасало.

— Хорошо, пример. Число 43 — простое. Для него

m = (43 + 1) / 2 = 22

n = (43 - 1) / 2 = 21

То есть 43 = 22² - 21². Причем, других разложений на разность квадратов вы не найдете. А вот число 3551 можно еще представить так:

3551 = 60² - 7² = 53 * 67.

Аналогичное можно провернуть и со вторым критерием. Эти критерии позволяют нам вместо таблицы простых чисел использовать таблицу квадратов.

Зима подождала, когда все запишут примеры.

— Что ж, на сегодня с вас хватит. Пришло время дать вам домашнее задание. Оно будет нестандартным в этом курсе. Я даю вам наборы задачек, каждая из которых оценивается отдельно. Можно решать любые и присылать мне. Лучше пачками, конечно, но по одной тоже можно. На задачку дается две попытки. Если вы истратили обе, я отправляю вам правильное решение. В письме обязательно пишите название блока задач, номер задачи и условие.